Si eres nuevo en el tema, ¡no te preocupes! Comenzaremos con los fundamentos y construiremos a partir de allí. He incluido un enlace a un hilo de Twitter que proporciona una excelente descripción general de los campos finitos y los generadores.
Haz clic en el enlace a continuación para leer el hilo de Twitter y luego regresa aquí para una exploración más detallada de los campos finitos y los generadores.
Campos Finitos y Grupos
Un grupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto G junto con una operacion binaria * que satisface las siguientes condiciones:
Cerradura: para todo a, b ∈ G, a * b ∈ G.
Asociatividad: para todo a, b, c ∈ G, (a * b) * c = a * (b * c).
Identidad: existe un elemento e ∈ G tal que para todo a ∈ G, a * e = e * a = a.
Inverso: para todo a ∈ G, existe un elemento b ∈ G tal que a * b = b * a = e.
Por otro lado, un campo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto F junto con dos operaciones binarias (+) y (*) que satisfacen las siguientes condiciones:
F es un grupo abeliano con la operación de suma (+).
F-{0} es un grupo abeliano con la operación de multiplicación (*).
Propiedad distributiva: para todo a, b, c ∈ F, a * (b + c) = a * b + a * c.
La principal diferencia entre un grupo y un campo es que un campo tiene dos operaciones binarias, mientras que un grupo solo tiene una. Además, un campo satisface la propiedad distributiva, lo cual no es necesariamente cierto para un grupo.
Operacion binaria?
A * B = C
A + B = D
Es una operación matemática que toma dos elementos y produce un tercer elemento. Para ilustrarlo mejor:
Me invento un simbolo y digo que aplicado ese operador un par de numeros, entonces obtengo un tercer numero. e.g:
A $ B = E
Grupo Abeliano?
Es un grupo en el cual la operación binaria es conmutativa. Es decir, para todo par de elementos a y b del grupo, a * b = b * a.
Trabajaremos Con Campos. ¿Por qué?
Porque tienen una estructura más rica (dos operaciones binarias en lugar de una) y nos permiten realizar operaciones adicionales, como la multiplicación.
adicionalmente queremos trabajar con el campo multiplicativo, denotado como F*, para un campo F. Y surge la misma pregunta: ¿Por qué?
Porque al trabajar con el conjunto de elementos no cero del campo finito, se asegura que todos los elementos tengan un inverso multiplicativo y, por lo tanto, puedan realizarse operaciones como divisiones.
😅 PD: El campo multiplicativo son todos los elementos del campo sin incluir el cero.
El característico de un campo.
El característico de un campo es el número más pequeño que, al sumarse varias veces la unidad del campo, da como resultado el elemento neutro aditivo (el cero). Se denota como char(F).
Por ejemplo, el campo de los números enteros módulo 5 (denotado como Z/5Z) tiene característico 5, ya que 1+1+1+1+1=0 en este campo.
Otro dato interesante del caracteristico es que es un numero primo.
- Ah si? Pero como lo sabes?
- Si, aqui tienes una explicacion intuitiva:
Recordemos que la definición de la característica de un campo finito F es el número más pequeño n tal que n * 1 = 0, donde 1 es el elemento identidad de la operación de suma en F.
Supongamos que la característica de F es igual a un número compuesto, es decir, n = a * b, donde a y b son enteros mayores que 1. Entonces tenemos:
n * 1 = (a * b) * 1 = (a * 1) * (b * 1) = 0
Ya que a y b son enteros mayores que 1, entonces a * 1 y b * 1 son distintos de 0. Por lo tanto, tenemos:
(a * 1) * (b * 1) = 0
Esto contradice la definición de n como el número más pequeño que hace que n * 1 = 0. Por lo tanto, la suposición de que la característica de F es igual a un número compuesto debe ser falsa.
Generadores
Un generador en el caso de campos finitos es un elemento que, junto con las operaciones de suma y multiplicación, puede generar todos los elementos del campo. De manera más formal, si tomamos un generador g y lo elevamos a todas las potencias posibles, obtendremos todos los elementos distintos del campo finito.
Ve aqui un ejemplo de esto:
Considera el campo finito F_7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tomemos el número 3, elevado a los elementos del campo, como sigue:
3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 = 2
3^3 = 6
3^4 = 4
3^5 = 5
3^6 = 1
Podemos observar que, al elevar 3 a cada uno de los elementos del campo, obtenemos todos los elementos de F_7 en el proceso. Por lo tanto, el número 3 es un generador del campo F_7.
Gracias por llegar hasta aquí, eres un campeón. Para la siguiente publicación hablaremos del:
Polinomio Interpolador: STARKS II
